單目 VIO 的尺度問題：從運動軌跡看尺度可觀測性與估計器一致性
在機器人與無人機導航領域，單目視覺慣性里程計（Monocular Visual-Inertial Odometry, VIO）因硬體成本與體積優勢，成為廣泛使用的狀態估計方案之一。單目相機能提供豐富的環境特徵與角度觀測，但無法觀測物理上的絕對尺度；而慣性測量單元（IMU）則能在短時間內提供物理世界的高頻運動導數。兩者在感測特性上形成了良好的互補。然而這個組合並非無敵，以下將作詳細介紹。
在實務開發中，單目 VIO 無法像 GPS 一樣隨插即用。如果機器人開機後，僅沿著直線等速前進，標準的濾波器或最佳化後端將難以收斂至準確的物理尺度。
這是因為在平穩運動或缺乏加速度的情況下，尺度變數在數學上是「不可觀測的（Unobservable）」。這種結構特性，迫使系統必須設計獨立的初始化程序（Initializer），讓機器人在啟動初期先累積多樣化的運動數據，以此對齊視覺與 IMU 的預積分量，確保鎖定尺度後，再切換回標準的狀態更新邏輯。
美國馬哈瑞師大學與克羅埃西亞薩格勒布大學(Hailu and Gebregziabher 2026)近期提出了一個概念並將其量化： IMU 還原尺度的能力依賴於系統「如何運動」。
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| 圖1：單目尺度模糊性（針孔投影）。光學中心 O 與影像平面（焦距為 f）定義了相機。3D 點 P=(X,Y,Z)（藍色）及其縮放對應點 sP（紅色）位於同一條方位射線上，因此投影到完全相同的影像點 p=(x,y,f)。由於投影 p=f P/Z 對全域縮放 $P\rightarrow sP$ 具有不變性，因此單憑單目影像無法還原物理尺度。 |
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| 圖2：加速度計量測分解。世界座標系 W 與機體（IMU）座標系 I 透過旋轉矩陣 $R_{WI}$ 關聯。加速度計讀數 $a_m$ 可分解為三個部分，分別是與尺度相關的機體加速度 $sR_{WI}^\top\dot{v}$（紅色）、重力 $-R_{WI}^\top g$（藍色，固定大小），以及偏差 $b_a$（橘色）。因為只有加速度項會隨 s 縮放，而重力提供了固定的參考基準，所以慣性量測打破了單目的尺度模糊性。 |
作者提出了「重力與加速度不對稱性」的概念。從 IMU 加速度計的基礎測量模型來看：
$$a_m=R_{WI}^\top(s\dot{v}_{mono}-g)+b_a+n_a$$
在這個等式中，重力$ g $是一個已知且大小固定的參考基準，不依賴於尺度。而相機座標系下的平移加速度 $\dot{v}_{mono}$ 必須乘上未知的尺度因子$ s $才能還原為真實世界的物理量。
論文透過推導 Fisher Information 證明，每一筆 IMU 採樣對尺度 s 貢獻的資訊量，正比於系統真實平移加速度的平方 $\dot{v}_{W}⬚^2$。若平移加速度趨近於零，關於尺度的資訊量也會隨之減少。為了將這套理論實用化，作者定義了一個輕量的「激勵指標（Excitation Index）」 $E=\sigma(\omega_z)\sigma(a_y)$，只需透過原始 IMU 數據中角速度與側向加速度的變異數，就能線上評估當前軌跡的資訊豐富度。
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| 圖3：軌跡相關的尺度可觀測性。直線運動 (a) 產生的平移加速度微乎其微，導致尺度不可觀測。等曲率運動 (b) 在固定方向上注入穩定的向心加速度。8 字型運動 (c) 產生具有反轉曲率的時變加速度（虛線箭頭），從而最大化 $\partial{a_m} / \partial{s}$。下方長條圖表示相對的尺度資訊量。 |
論文在差速輪型機器人上進行了對照實驗，結果與數學預期一致：
• 直線運動（Straight-line）：平移加速度與角速度變化不明顯，激勵指標低。這導致系統在依賴單目特徵推算時，產生 9.2% 的尺度誤差，且估計值隨著距離持續漂離。
• 等速圓周運動（Constant curvature）：提供了持續恆定的向心加速度，激勵程度中等，將尺度誤差降至 6.4%。
• 8字型運動（Time-varying curvature）：這是較強的激勵模態。曲率隨時間反轉，產生了時變側向加速度與角速度訊號。其激勵指標較高，將尺度誤差降低至 4.8%。
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| 圖4：激勵指標 E 與尺度誤差的關係。來自時變曲率的較高激勵會單調降低尺度估計誤差，證實了理論預測。虛線表示對數線性趨勢。 |
這些數據確立了一個觀點：「運動軌跡本身就是一種感測模態」。這份研究為 VIO 系統的實務工程帶來了兩個啟發，同時點出了設計演算法時需注意的挑戰：
1. 主動設計控制策略（Active Control Policy）
既然尺度可觀測性取決於運動，在無人機軌跡規劃或自主導航策略中，不需要侷限於平穩或直線軌跡。可以主動在控制命令中注入微小的時變曲率（如 S 型或 8 字型微調），讓 IMU 保持在具有激勵的狀態。這種主動感知的設計，能藉由運動本身換取更穩定的尺度追蹤。
2. 偏差吸收問題
儘管論文證明了理論上的資訊量，但在實務落地時，必須面對一個工程問題：偏差吸收（Bias Absorption）。
論文在計算 Fisher Information 時，隱含了「感測器偏差（Bias）為已知」的假設。然而，實際的 VIO 濾波器必須「聯合估計」尺度與加速度計偏差 b_a。當機器人進行「等速圓周運動」時，其產生的向心加速度在機體座標系下是一個幾乎恆定的「直流訊號（DC Signal）」。值得注意的是，未知的加速度計偏差同樣也是一個直流訊號。
這對估計器來說是一個挑戰。我們在數學上難以區分「機體座標系下恆定的加速度」與「感測器本身的恆定偏差」。這會導致其過度自信（Overconfidence）——將尺度的誤差吸收到偏差估計中，收斂到錯誤的尺度，卻同時給出較小的共變異數。
因此，即使軌跡看似提供了加速度，若缺乏「時變（AC）」特性，系統依然容易受到影響。一個穩健的 VIO 估計器應具備自我評估的能力。可以藉鑑論文中激勵指標的精神，線上監控機體加速度的動態變化；當偵測到系統落入恆定曲率的退化軌跡時，主動放大速度與尺度的共變異數（Covariance Inflation）。藉此確保估計器保持「誠實」，避免無人機在避障時因對尺度過度自信而做出不適當的決策。
聲明：此文章使用了 AI 進行初稿。
作者：葉宸甫
參考文章：Hailu, H., & Gebregziabher, B. (2026). "Motion as a Sensing Modality for Metric Scale in Monocular Visual-Inertial Odometry". arXiv preprint arXiv:2603.26740.
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