從機器人到大腦：為何大腦的 GPS 也使用對稱性？

繼上一篇我們探討了對稱性(Symmetry)如何在機器人視覺慣性里程計(VIO)中，透過等變濾波器(EqF)來根本性地解決線性化誤差問題。生物大腦在解決同一個基本問題——路徑積分(path integration)時，似乎也使用了對稱的原理。哺乳動物如何在沒有外部參照物的情況下(例如在黑暗中行走)追蹤自己的位置？神經科學家在內嗅皮質 (mEC) 中發現了被稱為「網格細胞」(grid cells) 的神經元，它們被認為是大腦 GPS 的核心。長久以來我們一直想知道，為什麼它們的 firing pattern 呈現出完美的六角形？UCLA、UT Austin、Google Brain 與百度研究院的合作團隊在 2021 年的論文 (Gao et al. 2021) 提出了一個模型來解釋此一現象：六角形模式並非內建於大腦，而是一種「湧現特性」(emergent property)，是系統在學習路徑積分時，為滿足幾何對稱性約束而自然演化出的最佳解。

此論文建立了一個理論模型。該模型將動物的 2D 物理位置 x 編碼為一個高維神經向量 v(x)ϵℝd。當動物移動 𝛥x 時，此向量會經由一個變換 F 進行更新 v(x+𝛥x)=F(v(x),𝛥x)。在他們重點分析的線性模型中，此變換 F 是一個矩陣 M(𝛥x)，它是一個矩陣李群(matrix Lie group) SO(d) 的元素，即一個高維旋轉。此模型透過優化三個損失函數來進行學習：(1) L₀(基底擴展)：網格細胞向量必須能有效重建「位置細胞」(place cell) 的局部放電場。 (2) L₁(群表示)：此為一致性規則，確保系統學會路徑積分的動態，即向量 v(x) 根據運動 M(𝛥x) 進行一致的旋轉。 (3) L₂(等向縮放)：此為關鍵的對稱性規則，即「無變形」約束，要求無論朝任何方向移動相同距離，神經向量的變化幅度都必須相同。結果顯示，當模型被訓練來同時滿足這三項要求時，神經元自發地學習到了六角形的網格放電模式，因為六角形是唯一能完美滿足 L₂ 無變形約束的 2D 幾何結構。

此模型不僅在理論上優雅，更是一個功能強大的路徑積分器。它能實現長距離的精確導航，關鍵在於它採用了一種「解碼-再編碼」(decode-re-encode) 的錯誤校正機制；這與濾波器中的「更新」步驟如出一轍。在每一步，系統會將其當前(可能有噪聲)的神經向量 vₜ，「解碼」為最可能的物理位置 x，然後立即將其狀態「重置」為該位置的完美向量 v(x)。這個「拉回」(snap) 動作能有效清除累積的誤差，使系統保持高度準確。這與我們在 EqVIO 和 MSCEqF 中看到的，利用系統對稱性來消除誤差、防止發散的核心思想不謀而合(註)。Gao et al. 的研究有力地證明了，無論是生物大腦還是先進的機器人，都趨同演化出利用對稱性與李群表示的深刻數學原理，來解決狀態估計這個根本問題。

註：兩者的數學實作機制不同：Gao 的模型是非線性的「拉回」重置，而 EqF 是將非線性系統線性化後的「加權」修正。

聲明：本文使用Gemini，進行討論後生成。

作者：葉宸甫

參考文章：Gao, Ruiqi, Jianwen Xie, Xue-Xin Wei, Song-Chun Zhu, and Ying Nian Wu. 2021. “On Path Integration of Grid Cells: Group Representation and Isotropic Scaling.” In Advances in Neural Information Processing Systems, 34:28623–35. Curran Associates, Inc. https://proceedings.neurips.cc/paper/2021/hash/f076073b2082f8741a9cd07b789c77a0-Abstract.html.